设y为沿质量m自由度方向某一时刻t的动力位移，则由达朗伯原理，得单自由度体系无阻尼自由振动方程为

                                       (6—1)

令

                                   (6—2)

    则

                                        (6—3)

    式(6—1)中的为惯性力；Ky为体系的弹性力，K(或δ)为体系在集中质量处沿其自由度方向的刚度(或柔度)系数。

    设初位移为y₀，初速度为，则式(6—3)的解为

                   (6—4)

    或

          y=Asin(ωt+φ)                                          (6—5)

    式中  A为振幅，φ为初相角。

式(6—5)为一周期函数，其周期为

                                  (6—6)

T即为自振周期，自振周期的倒数称为频率，记作f：

             f＝1／T                                           (6—7)

    f表示单位时间内的振动次数，常用单位为1／s，或称为赫兹(Hz)。

    ω称为圆频率或角频率(有时习惯上也称为频率)，ω的单位为弧度／s。

    自振频率ω的计算公式(6—2)又可表示为

                 (6—8)

    结构自振周期T的计算公式为

                           (6—9)

    式中  W＝mg为质量m的重量，g为重力加速度，Δ_st是体系在质量m处沿其自由度方向由重量W产生的静力位移。

    从式(6—8)、(6—9)可知，结构的自振频率和自振周期只与结构的质量和刚度有关，它们是结构很重要的动力特性参数。只要改变结构的质量和刚度，就能改变结构的自振频率或自振周期。在质量相同的条件下，增大结构的刚度，频率也随之增大。

    图6－2

[例6—1]  求图6—2所示体系的自振频率ω，杆件的质量不计。

    [解]  由图6—2b所示的弯矩图，可求得柔度系数δ＝l³／8EI，于是得自振频率为

   图6－3

[1] [2]